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Exemple: A={1, 2}. ne pas confondre le paire {a, b}={b, a}avec le couple (a, b)≠(b, a) Il y a trois manières de définir un ensemble E: 1- Diagramme de Venn une courbe fermée qui entoure certains éléments d'un ensemble; il sert à schématiser cet ensemble. Exemple: E = {1;2;3;4}. 2- En extension: Un ensemble E est défini en extension lorsqu'on donne la liste de ses éléments. A= {2;10}. 3- En compréhension: Un ensemble E est défini en compréhension lorsque ses éléments vérifient certaines propriétés. A= { n∊IN / n<9}. Exemples * D12 Ensemble des diviseurs positifs du nombre 12: Écriture en extension: D12= {1;2;3;4;6;12}. Ensemble en extension et en compréhension exercices corrigés dans. Écriture en compréhension: D12 = {n∊IN / n divise 12}. * Δ La médiatrice du segments [AB] (A et B deux points distincts du plan P). Écriture en compréhension:Δ ={M∊P / AM=BM}. 1- A l'ensemble des entiers naturels premiers et inférieurs à 15. A= {2;3;5;7;11;13}. 2- B l'ensemble des multiples positifs de 5. B= {5n / n∊IN}. 3- C l'ensemble des entiers naturels pairs. C= {2p / n∊IN}.

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On dit aussi que la partie A est contenue dans B ou que A est un sous-ensemble de B. A⊂B ⇔ A= { (∀x∊IR);x∊A⇒x∊B} On a toujours: Ø⊂A et A⊂A. On dit que A n'est pas incluse dans B signifie qu'il existe au moins un élément x de A tel que x∉B. On note A⊈B. Exemples: * IN ⊂Z⊂IR. * On considère l'ensemble: A={-1;0;3;7}. Ona: {0}⊂A / {0;3}⊂A / {-1;3;7}⊂A. *]-2;5]⊂R;]2;+∞[⊂R; ID⊂R; {3;5;9} ⊂N. Proposition Soit A, B et C trois parties d'un ensemble E. • Si A⊂B et B⊂C alors A⊂C. • A = B si, et seulement si: A⊂B et B⊂A. Ensemble en extension et en compréhension exercices corrigés francais. * Complémentaire * Soit A une partie d'un ensemble E. L'ensemble des éléments de E n'appartenant pas à l'ensemble A est appelé le complémentaire de A dans E. On le note Ā ou Ā={x∊E / x∉A} x∊Ā ⇔ x∉A le complémentaire de IR+ dans IR est IR-. le complémentaire de IN dans Z est Z-. Exercice: On considère l'ensemble suivant: A={x∊R/ x²+x<5}. Montrer que: [2;+∞[⊂Ā. Soit x∊ [2;+∞[ x≥2⇒x²+x≥6>5⇒x∉A⇒x∊Ā. Il en résulte donc: [2;+∞[⊂Ā. Proposition Soit A et B deux parties d'un ensemble E. Alors: * Unio * * Intersection * 3- Ensembles particuliers: … 4- Opération sur les Ensembles: …

Calcul intégral Méthodes des rectangles, des milieux, des trapèzes. Méthode de Monte-Carlo. Algorithme de Brouncker pour le calcul de ln(2). Probabilités Simulation de la planche de Galton. Problème de la surréservation. Ensemble en extension et en compréhension exercices corrigés du web. Étant donné une variable aléatoire binomiale X et un réel strictement positif α, détermination du plus petit entier k tel que P(X > k) ⩽ α. Simulation d'un échantillon d'une variable aléatoire. Concentration et loi des grands nombres Calculer la probabilité de (│Sn - pn│ > n), où Sn est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ℬ(n, p). Comparer avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Simulation d'une marche aléatoire. Simuler N échantillons de taille n d'une variable aléatoire d'espérance \(\mu\) et d'écart type \(\sigma\). Calculer l'écart type s de la série des moyennes des échantillons observés, à comparer à \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Calculer la proportion des échantillons pour lesquels l'écart entre la moyenne et \(\mu\) est inférieur ou égal à ks, ou à \(\dfrac{k\sigma}{\sqrt{n}}\), pour \(k = 1, 2, 3\).

July 8, 2024