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vecteurs orthogonaux orthogonaux (vecteurs -) (2): Soit et deux vecteurs non nuls. sont orthogonaux lorsque les droites ( AB) et ( CD) sont perpendiculaires. Notation:. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur. orthogonaux (vecteurs -) (1): Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

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Ces propositions (et notations) sont équivalentes: - `\vecu _|_ \vecv` - Les vecteurs `\vecu` et `\vecv` sont orthogonaux - Leur produit scalaire est nul: `\vecu. \vecv = 0` Comment calculer le vecteur orthogonal dans un plan euclidien? Soit `\vecu` un vecteur du plan de coordonnées (a, b). Tout vecteur `\vecv` de coordonnées (x, y) vérifiant cette équation est orthogonal à `\vecu`: `\vecu. \vecv = 0` `a. x + b. y = 0` Si `b! = 0` alors `y = -a*x/b` Tous les vecteurs de coordonnées `(x, -a*x/b)` sont orthogonaux au vecteur `(a, b)` quelque soit x. En fait, tous ces vecteurs sont liés (ont la même direction). Pour x = 1, on a `\vecv = (1, -a/b)` est un vecteur orthogonal à `\vecu`. Normalisation d'un vecteur Définition: soit `\vecu` un vecteur non nul. Le vecteur normalisé de `\vecu` est un vecteur qui a la même direction que `\vecu` et a une norme égale à 1. On note `\vecv` le vecteur normalisé de `\vecu`, on a alors, `\vecv = \vecu/norm(vecu)` Exemple: Normaliser le vecteur du plan de coordonnées (3, -4) `\norm(vecu) = sqrt(3^2 + (-4)^2) = sqrt(25) = 5` Le vecteur normalisée de `\norm(vecu)` s'écrit donc `\vecv = \vecu/norm(vecu) = (3/5, -4/5)` Voir aussi Produit scalaire de deux vecteurs

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Note importante: comme pour les vecteurs, ce théorème de sapplique que dans le cas où le repère est orthonormé. Applette dterminant si deux droites sont perpendiculaires. La preuve de ce théorème: D ayant pour équation a. x + b. y + c = 0 alors le vecteur (-b; a) est un vecteur directeur de D. Et donc et D ont même direction. De même le vecteur (-b; a) est un vecteur directeur de la droite D. Les deux comparses ont donc même direction. Pour arriver à nos fins, nous allons procéder par équivalence. D et D sont perpendiculaires équivaut à les vecteurs et sont orthogonaux. Tout cela nest quune affaire de direction... Connaissant les coordonnées des deux vecteurs, on peut appliquer le premier théorème. Autrement dit, ce que lon voulait! En Troisième, on voit une condition dorthogonalité portant sur les coefficients directeurs. En fait, cette condition est un cas particulier de notre théorème. Si léquation réduite de la droite D est y = m. x + p alors une équation cartésienne de celle-ci est: m. x - y + p = 0.

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vecteur normal à P en écrivant ce que signifie être orthogonal à d et v en même temps (même technique que pour la question 2). Ensuite, tu pourras conclure! Pour la question 4, il te suffira en fait de prouver que P et P' se coupent selon une droite nécessairement dirigée par un vecteur que ces deux plans ont en commun, à savoir le vecteur v. Or, ce vecteur se trouve être normal à d et à d': cette droite d'intersection est donc nécessairement orthogonale à d et d' en même temps. Or, elle se trouve dans P qui contient d, donc elle est coplanaire avec d. De même, elle est coplanaire avec d' dans P'. Conclusion: c'est bien la perpendiculaire commune à d et d'! Posté par Exercice re: vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs 30-03-09 à 17:49 Merci (encore une fois!!! ) Je me suis rendue compte de mon erreur cette après midi, j'ai donc eu le temps de revoir mes réponses, ce que j'ai fait me semble en accord avec vos explications: ' est un vecteur normal au plan, l'équation est donc -x-z+d=0 or A(4;3;1) P d'où -4-1+d=0 d=5 L'equation est donc -x-z+5=0 Même technique, on trouve: x+2y-z+1=0 Je vais mtn chercher les questions suivantes en suivant vos indications...

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Ainsi, le produit scalaire des vecteurs une et b serait quelque chose comme indiqué ci-dessous: a. b = |a| x |b| x cosθ Si les 2 vecteurs sont orthogonaux ou perpendiculaires, alors l'angle entre eux serait de 90°. Comme nous le savons, cosθ = cos 90° Et, cos 90° = 0 Ainsi, nous pouvons réécrire l'équation du produit scalaire sous la forme: a. b = |a| x |b| x cos 90° On peut aussi exprimer ce phénomène en termes de composantes vectorielles. a. b = + Et nous avons mentionné plus haut qu'en termes de représentation sur la base de vecteurs unitaires; nous pouvons utiliser les caractères je et j. D'où, Par conséquent, si le produit scalaire donne également un zéro dans le cas de la multiplication des composants, alors les 2 vecteurs sont orthogonaux. Exemple 3 Trouvez si les vecteurs une = (5, 4) et b = (8, -10) sont orthogonaux ou non. a. b = (5, 8) + (4. -10) a. b = 40 – 40 Par conséquent, il est prouvé que les deux vecteurs sont de nature orthogonale. Exemple 4 Trouvez si les vecteurs une = (2, 8) et b = (12, -3) sont orthogonaux ou non.

Cette méthode est en fait assez proche de la méthode n° 1, l'un des vecteurs étant décomposé en un vecteur colinéaire et un vecteur orthogonal à l'autre. Exemple d'utilisation de la méthode n° 3: on peut évidemment appliquer ce resultat directement. car les vecteurs sont colinéaires et de même sens. Or d'après la reciproque de la droite des milieux: H est le milieu de [DC]. Cette méthode est simple à utiliser, si l'on choisit des représentants des vecteurs ayant la même origine. Dans un plan orienté dans le sens direct: Deux cas sont possibles: La méthode n° 4 consiste donc à utiliser le cosinus: Exemple d'utilisation de la méthode n° 4: Or, en utilisant le triangle rectangle DBC: Outre son intérêt calculatoire, ce résultat a pour conséquence une propriété fondamentale: Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si: Démonstration: La méthode de prédilection pour montrer que deux vecteurs sont orthogonaux va donc être de montrer que leur produit scalaire est nul. Ce qui va être extrêmement simple dans un repère orthonormé: Dans un plan muni d'un repère orthonormé: En effet: Or les deux vecteurs de base sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul, d'où: De même, dans l'espace muni d'un repère orthonormé: On appelle cette forme: l'expression analytique du produit scalaire.

Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont-ils orthogonaux? Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont orthogonaux. Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} ne sont ni orthogonaux ni colinéaires. On considère les vecteurs \overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} -\dfrac{3}{4} \cr\cr \dfrac{5}{9} \end{pmatrix} et \overrightarrow{CD} \begin{pmatrix} \dfrac{8}{3}\cr\cr \dfrac{18}{5}\end{pmatrix}. Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont-ils orthogonaux? Les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont orthogonaux. Exercice suivant

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