Bracelet Avec Pierre De Naissance / Exercices Sur Les Suites
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Donc cela ne peut pas être une suite arithmétique. Somme des termes d'une suite arithmétique Voici les formules permettant de calculer la somme des termes d'une suite arithmétique \sum_{k=0}^n u_k=u_0+u_1+ \ldots+u_n = (n+1)(u_0+u_n) Et voici une formule plus générale: \forall n, p \in \N, p\leq n, \sum_{k=p}^n u_k=u_p+u_1+ \ldots+u_n = (n-p+1)(u_p+u_n) En fait cette formule se résume en nombre de termes x (plus petit terme + plus grand terme) n – p + 1 est bien le nombre de termes. De 2 à 10 il y a bien 10 – 2 + 1 = 9 termes. Si on détaille, les 9 termes sont 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Exemple Soit la suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 3. Cette suite peut donc s'écrire u n = 2n + 3. La somme de ses termes de 0 à n vaut (n+1)x(u 0 +u n) = (n+1)(3+2n+3)= (n+1)(2n+6)=2(n+1)(n+3) Exercices Exercice 1 1. Soit u 0 = 4 et r = 3. Déterminer u 21 2. Soit u 2 = 2 et r = 2. Déterminer u 37 3. Soit u 9 = 8 et r = -3. Déterminer u 3 4. Les suites adjacentes : Cours et exercices corrigés - Progresser-en-maths. Soit u 100 = 900 et r = 7. Déterminer u 0 Exercice 2 Soit la suite (u n) définie par u n = 5 – 2n 1.
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Définition Une suite arithmétique est définie par 2 éléments, son premier terme u 0 et sa raison r. Elle vérifie la relation suivante: Propriétés Ecriture générale On peut écrire une suite arithmétique en fonction son premier terme et de n: Ou de manière plus générale, en fonction d'un terme quelconque: \forall n, p \in\N, u_n = u_p + (n-p)r Ce critère est par ailleurs suffisant pour qualifier une suite arithmétique. Si on trouve une suite sous l'une des 2 formes au-dessus, alors on a bien affaire à une suite arithmétique. Les annuités : cours et exercices corrigés. A noter: La suite (u n+1 -u n) est une suite constante égale à la raison r. Additivité et multiplicativité La somme de suites arithmétiques est une suite arithmétique. En effet, deux suites arithmétique u et v sont définies par \begin{array}{l}u_0 = a \text{ et raison} = r_1\\ v_{0}= b\text{ et raison}= r_2\end{array} Alors montrons que la somme est bien une suite arithmétique: \begin{array}{l} u_n = a + nr_1\\ v_n=b + nr_2 \end{array} Alors, u_n + v_n = a + b + n(r_1+r_2) Ce qui signifie que u + v est une suite de premier terme a + b et de raison r 1 + r 2.
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Calculer les 4 premiers termes 2. Démontrer que (u n) est une suite arithmétique. Donner sa raison 3. Quelle est la valeur du 77-ème terme? 4. Calculer la somme des 77 premiers termes. Exercice 3 Démontrer qu'une suite vérifiant la relation 2u n = u n-1 + u n+1 est une suite arithmétique. Somme des termes consécutifs d'une suite Arithmétique ou Géométrique. Exercice 4 Soit (u n) la suite définie par u 0 = 1 et et pour tout n entier: On pose aussi v n définie par v n = u n 2. 1. Montrer que (v n) est une suite arithmétique 2. Exprimer v n en fonction de n. 3. En déduire une expression de u n en fonction de n Exercice 5 Calculer la somme des entiers naturels entre 100 et 1000. Retrouvez nos derniers articles pour aider à préparer le bac Tagged: suite mathématique Suites suites arithmétiques Navigation de l'article
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Si on note par: V0 = la valeur actuelle par la suite des annuités a = l'annuité constante de fin de période n = le nombre de périodes (d'annuités) i = le taux d'intérêt par période de capitalisation Alors: On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+i)^(-1) et comprenant n termes. Suite arithmétique exercice corrigé et. La formule devient: Exemple Quelle est la valeur actuelle au taux d'actualisation de 6% d'une suite d'annuité constante de 1500 euros versées à la fin de chaque année pendant 7 ans? Solution La valeur actuelle de cette suite d'annuités constantes est donc: Exercice d'application 1 Combien je dois prêter au taux mensuel de 3% pour me faire rembourser 230 Euros pour les trois mois suivants (remboursement en fin de période)? Il s'agit simplement de calculer la valeur actuelle de ces trois sommes d'argent à recevoir: La valeur actuelle (VA) qui représente dans ce cas le montant à emprunter pour avoir trois remboursements mensuels de 230 Euro se calcule de la façon suivante: VA = 230(1+3%)-¹ + 230(1+3%)-² + 230(1+3%)-³ = 650, 58 Euro Exercice d'application 2 Quel montant faut-il placer chaque année au taux 6%, et ce pendant 20 ans, pour pouvoir obtenir à l'échéance 100 000 €?
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Le discriminant est $\Delta=5^2-4\times (-6)\times (-1)=1>0$ Les solutions de cette équation sont donc $\alpha_1=\dfrac{-5-1}{-2}=3$ et $\alpha_2=\dfrac{-5+1}{-2}=2$. Revenons au système: $\bullet$ Si $\alpha=3$ alors $q=2$. $\bullet$ Si $\alpha=2$ alors $q=3$. Ainsi la suite $\left(v_n\right)$ défnie par $v_n=u_{n+1}-3u_n$ est géométrique de raison $2$ et la suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_n=u_{n+1}-2u_n$ est géométrique de raison $3$. $v_0=u_1-3u_0=1-3\times 6=-17$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-17\times 2^n$. $w_0=u_1-2u_0=1-2\times 6=-11$. Suite arithmétique exercice corrigé les. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $w_n=-11 \times 3^n$. De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=u_{n+1}-3u_n$ et $w_n=u_{n+1}-2u_n$. Donc $w_n-v_n=u_{n+1}-2u_n-\left(u_{n+1}-3u_n\right)=u_n$ Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=w_n-v_n=-11 \times 3^n+17 \times 2^n$ Exercice 3 Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=-3$ et $\forall n\in \N$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+4$.