Interdiction De Stationner À Imprimer Gratuit - Exercices Corrigés -Nombres Premiers - Décomposition En Produit De Facteurs Premiers
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Vous: "Incroyable, impossible! " Moi: "Si! Tenez, choisissez un nombre premier différent de 2 et 3. Élevez-le au carré, ajoutez 17, divisez par 12, et rappelez-vous le reste! " Vous: "Ouh, la, la, c'est compliqué! Ca y est! " Moi: "C'est 6, n'est-ce pas! " Vous: "Incroyable! Mais comment avez-vous fait? " Et vous, saurez-vous déjouer le tour du magicien des mathématiques? Enoncé Soient $a, n\geq 2$ des entiers. Montrer que si $a^n-1$ est premier, alors $a=2$ et $n$ est premier. On note $M_n=2^n-1$ le $n$-ième nombre de Mersenne. Vérifier que $M_{11}$ n'est pas premier. Enoncé Soit $n\in\mathbb N$ vérifiant $10\leq n\leq 120$. Démontrer que $n$ est premier si et seulement s'il existe un entier $a\in\mathbb Z$ tel que $an\equiv 1[210]. $ Enoncé Soit $n$ un nombre entier, $n=p_1^{\alpha_1}\dots p_r^{\alpha_r}$ sa décomposition en produit de facteurs premiers. On note $d(n)$ le nombre de diviseurs de $n$. Montrer que $d(n)=\prod_{i=1}^r (\alpha_i+1)$. Montrer que $n$ est un carré parfait si et seulement si $d(n)$ est impair.
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Ta prof de soutien scolaire en ligne de maths te propose ce corrigé de sujet de brevet 2019 métropole sur les nombres premiers et les puissances. Énoncé du sujet et corrigé en ligne 1. a. Déterminer la décomposition en produit de facteurs premiers de 2744. b. En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de 2744 au carré. c. A l'aide de cette décomposition trouver x tel que x 3 = 2744 2. 2. Soient a et b deux nombres entiers supérieurs à 2 tels que a 3 = b 2. a. Calculer b lorsque a = 100. b est donc égal à 1000. b. Déterminer deux nombres entiers a et b supérieurs à 2 et inférieurs à 10 qui vérifient l'égalité a 3 = b 2. Le plus simple est de construire un tableau pour examiner toutes les possibilités. n 3 4 5 6 7 8 9 n 2 16 25 36 49 64 81 n 3 27 125 216 343 512 729 On s'aperçoit que 4 3 = 64 = 8 2 on obtient donc la solution suivante: a = 4 et b = 8 Superheroes, Superlatives & present perfect - Niveau Brevet Comment former et utiliser les superlatifs associés au present perfect en anglais?
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Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls, $a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$ et $b=q_1^{\beta_1}\cdots q_s^{\beta_s}$ leurs décompositions respectives en produits de facteurs premiers, avec $\alpha_i, \beta_j\geq 1$. On suppose de plus que $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Que dire des $p_i$ et des $q_j$? Comment s'écrit un diviseur de $a$? un diviseur de $b$? un diviseur de $ab$? En déduire que l'application \begin{eqnarray*} \phi:\{\textrm{diviseurs de}a\}\times\{\textrm{diviseurs de}b\}&\to&\{\textrm{diviseurs de}ab\}\\ (m, n)&\mapsto&mn \end{eqnarray*} est une bijection, puis que $\sigma(a)\sigma(b)=\sigma(ab)$. Soit $p$ un nombre premier tel que $2^p-1$ soit premier. On note $E_p=2^{p-1}(2^p-1)$. Calculer $\sigma(2^{p-1})$ puis $\sigma(2^p-1)$. En déduire que $E_p$ est un nombre parfait. Dans cette question $n$ désigne un nombre parfait pair, $n=2^a b$ où $b$ est impair. Justifier que $\sigma(n)=2^{a+1}b$ puis que $2^{a+1}b=\sigma(b)(2^{a+1}-1)$. Démontrer que $2^{a+1}-1$ et $2^{a+1}$ sont premiers entre eux.
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2021 16:02 Mathématiques, 16. 2021 16:03 Français, 16. 2021 16:03 Physique/Chimie, 16. 2021 16:03
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